Трёхзначное число с первой цифрой 2 записали подряд 1989 раз, и получили сисло, делящееся на 91. Найдите это число.​

Ответ:

273

Пошаговое объяснение:

Пусть искомое трехзначное число - это A = A * 1.

Записанное два раза подряд число - это 1001A = A * (1000 + 1). Получить его можно, например, так: дописать 3 нуля к A (это равносильно умножению на 1000) и прибавить его само.

Число, полученное из трёх записей A подряд - это 1001001A = A * (1000^2 + 1000 + 1).

Аналогично, число с записанными 1989 раз подряд А - это

Выражение в скобках - сумма геометрической прогрессии. Её сумму можно выразить как

Итак,

должно делиться на

Непосредственной проверкой убеждаемся, что 999 не делится ни на 7, ни на 13, поэтому можно говорить, что полученное длинное число делится на 91, если и только если на 91 делится

Проверим, делится ли выражение в скобках на 7 или 13. Заметим, что 1001 делится на 7 и на 13. Тогда дает такой же остаток при делении на 7 и на 13, что и (мысленно раскроем скобки в степени. Почти все слагаемые будут делиться на 1001, кроме того, что будет только произведением минус единиц). Значит, дает такой же остаток при делении на 7 и на 13, что и , и, таким образом, не делится ни на 7, ни на 13.

Из этого можно сделать вывод, что условие выполнено, только если A делится на 91. С учетом ограничения на первую цифру, это дает единственный вариант A = 3 * 91 = 273.