Задание 4. Доказать, что при каждом n принадлежащем N число 7^2n-1 делится на 48

Задание 5. Доказать, что для любого n принадлежащего N справедливо равенство
1+2+3+⋯+n=1/2 n(n+1)

Задание 6. Доказать, что для любого n принадлежащего N справедливо равенство
1∙4+2∙7+3∙10+n(3n+1)=n〖(n+1)〗^2

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Матов

$7^{2n}-1 \ $ положим что оно делиться на $48$ ,тогда методом математической индукций , оно должно делится и на $n+1$
$7^{2(n+1)}-1 = 7^{2n}*49-49+48 = (7^{2n}-1)*49+48$ откуда и следует утверждение , так как $7^{2n}-1$ делится на $48$ , а $48$ делится на само себя , то и все выражение делится на $48$


 Можно представить как арифметическую прогрессию и по формуле
 $1+2+3+...+n\ S_{ariph} = frac{2*1+1*(n-1)}{2}*n = frac{n+1}{2}*n$

 $1*4+2*7+3*10 + n(3n+1) = n*(n+1)^2 \ $
пусть оно верно для первого члена , тогда для последующего , получим при $n+1$
 $1*4+....+n(3n+1)+(n+1)(3n+4 ) = (n+1)(n+2)^2 \ n(n+1)^2+(n+1)(3n+4) = (n+1)((n+1) n + 3n+4) \ (n+1)( n^2+4n+4) = (n+1)(n+2)^2 $


Верно