Помогите с несобственным интегралом!!!
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
$intlimits^5_3 { frac{x}{ sqrt[4]{x^{2}-9 } } } , dx$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - HUH39I

Чуть накосячили с LaTeXом.
$intlimits^5_3 { frac{x}{ sqrt[4]{ x^2-9}} } , dx$
Найдем соответствующий неопределенный интеграл:
$J(x) = intfrac{x}{ sqrt[4]{ x^2-9}} } , dx$
Сделаем замену $x = 3cht$ , тогда
$sqrt[4]{x^2-9} = sqrt[4]{9ch^2t-9} = sqrt[4]{9sh^2t} = sqrt{3sht} \ dx = 3sht$ .
Подставим в интеграл:
$J(x) = intfrac{x}{ sqrt[4]{ x^2-9}} } , dx = int{ frac{9shtcht}{ sqrt{3sht}} } , dt = 3sqrt{3}int{chtsqrt{sht}} , dt = 3sqrt{3}int{sqrt{sht}} ,d(sht) =$ $3 sqrt{3} frac{sh^ frac{3}{2} t}{ frac{3}{2} } = 2sqrt{3}(ch^2t-1)^frac{3}{4}+C$ .
Делаем обратную замену:
$J(x) = 2sqrt{3}( frac{x^2}{9} -1)^frac{3}{4}+C = frac{2sqrt{3}( x^2 -9)^frac{3}{4}}{9^frac{3}{4}} + C= frac{2sqrt{3}( x^2 -9)^frac{3}{4}}{3sqrt{3}} + C =$ $frac{2}{3} (x^2-9)^ frac{3}{4} + C$ .
Возьмем значение произвольной постоянной $C = 0$ .
Наконец, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
$intlimits^5_3 { frac{x}{ sqrt[4]{ x^2-9}} } , dx = J(5) - J(3) = frac{2}{3} * 16^ frac{3}{4} = frac{16}{3}$ .

Помогите с несобственным интегралом!!! Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Ответ

Проверено экспертом

Помогите с несобственным интегралом!!!
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
$intlimits^5_3 { frac{x}{ sqrt[4]{x^{2}-9 } } } , dx$