Напишите уравнение касательной к графику функции y= x+1 / x^2+1 в точке с абсциссой x0=1

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Касательная задается уравнением: $f(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)$

Значение функции в точке $x_0=1:$

$y(1)=dfrac{1+1}{1^2+1}=dfrac{2}{2}=1$

Найдем теперь производную функции по формуле производной частного

$y'=left(dfrac{x+1}{x^2+1}right)'=dfrac{(x+1)'cdot (x^2+1)-(x+1)cdot (x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\ \ \ =dfrac{x^2+1-2x(x+1)}{(x^2+1)^2}=dfrac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}=dfrac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$

Значение производной функции в точке $x_0:$

$y'(1)=dfrac{-1^2-2cdot 1+1}{(1^2+1)^2}=-dfrac{1}{2}$

Находим наше уравнение касательной:

$f(x)=-dfrac{1}{2}cdot (x-1)+1=-dfrac{x}{2}+dfrac{3}{2}$