$ctg(frac{pi}{6}-frac{2pi*sin^{2}(x)+pi}{4sin^{6}(x)+1})-tg(frac{pi}{4sin^{6}(x)+1})=0\\$
Как это решать? ПЖ СРОЧНО!!!! 100 БАЛЛОВ!!!!

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Misha001192

Данное уравнение равносильно уравнению

$tg(frac{pi}{3}+frac{2pi*sin^{2}x+pi}{4sin^{6}x+1})=tg(frac{pi}{4sin^{6}x+1})\\frac{pi}{3}+frac{2pi*sin^{2}x+pi}{4sin^{6}x+1}=frac{pi}{4sin^{6}x+1}+pi:n\\frac{1}{3}+frac{2pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}+frac{1}{4sin^{6}x+1}=frac{1}{4sin^{6}x+1}+n\\frac{1}{3}+frac{2pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=n\\$

n ∈ Z

Рассмотрим более пристально выражение $frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\\$ , которое можно записать в следующем виде:

$frac{1}{2sin^{4}x+frac{1}{2sin^{2}x}}=frac{1}{2sin^{4}x-2sin^{2}x+(2sin^{2}x+frac{1}{2sin^{2}x})}=frac{1}{-sin^{2}x*cos^{2}x+(2sin^{2}x+frac{1}{2sin^{2}x})}=\\=frac{1}{(2sin^{2}x+frac{1}{2sin^{2}x})-frac{sin^{2}2x}{2}}\\$

Так как $2sin^{2}x+frac{1}{2sin^{2}x}geq 2\\$ (сумма двух положительных взаимно обратных величин), $frac{sin^{2}2x}{2}geqfrac{1}{2}\\$ , то $2sin^{2}x+frac{1}{2sin^{2}x}-frac{sin^{2}2x}{2}geqfrac{3}{2}\\$ , а значит, $0leqfrac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}leqfrac{2}{3}\\$

Однако выражение $frac{1}{3}+frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\\$ должно быть целым, что возможно только при $frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=frac{2}{3}\\$ . Это равенство, в свою очередь, выполняется, если и только если

$2sin^{2}x+frac{1}{2sin^{2}x}-frac{sin^{2}2x}{2}=frac{3}{2}\\$

$left{{{2sin^{2}x+frac{1}{2sin^{2}x}=2}atop{sin^{2}2x=1}}right.:::<=>:::left{{{sin^{2}x=frac{1}{2}}atop{cos^{2}x=frac{1}{2}}}right.:::<=>:::x=frac{pi}{4}+frac{pi:k}{2}\\$ , k ∈ Z

Ответ: $x=frac{pi}{4}+frac{pi:k}{2}\\$ , k ∈ Z