Стороны треугольника даны уравнениями 4х–у–7=0, х+3у–31=0,
х+5у–7=0. Определить точку пересечения его высот

Даны уравнения сторон треугольника:

p = 4х – у – 7 = 0,

t = х + 3у – 31 = 0,

q = х + 5у – 7 = 0.

Находим вершины треугольника как точки пересечения прямых:

p + t = A.   4х – у – 7 = 0,           4х – у – 7 = 0,

                 х + 3у – 31 = 0|*-4     -4х - 12у + 124 = 0,

                                                         - 13y + 117 = 0  

y = -117/-13 = 9,     x = 31 - 3*y = 31 - 3*9 = 4.

Точка А(4; 9).

Аналогично находим:

Точка В = t + q = (67; -12).

Точка С = p + q = (2;1).

Векторы: АВ = (63; -21), ВС = (-65; 13),  АС = (-2; -8).

Уравнения сторон:

АВ = (х - 4)/63 = (у - 9)/(-21),

ВС = (х - 67)/(-65) = (у + 12)/13,

АС = (х - 4)/(-2) = (у - 9)/(-8).

Находим угловые коэффициенты сторон:      

Кав = Ув-Уа = -21       = -1/3.

 Хв-Ха  63

Квс = Ус-Ув = -13      =    -1/5.

 Хс-Хв         -65

Кас = Ус-Уа = -8       =   4.

 Хс-Ха  -2

Угловой коэффициент перпендикуляра равен -1/к(стороны).

к(АА1) = -1/к(ВС) = -1/(-1/5) = 5,

к(ВВ1) = -1/к(АС) = -1/4,

к(СС1) = -1/к(АВ) = -1/(-1/3) = 3.

Уравнение высоты равно: у = кх + в.

Подставив значения соответствующего к и координаты точек, получаем уравнения сторон:

АА1: у = 5х - 11.

ВВ1:  у = (-1/4)х +  4,75
.

СС1:  у = 3х - 5
.

Искомую точку пересечения высот находим как решение системы двух уравнений высот.

АА1: у = 5х - 11.

СС1:  у = 3х - 5
.

Отсюда 5х - 11 = 3х - 5,   2х = 6, х = 6/2 = 3.

              у = 3*3 - 5 = 9 - 5 = 4.

Ответ: точка пересечения (3; 4).