Решите тригонометрическое уравнение.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Denik777

Это уравнение можно записать в виде
$(|sin x|-1/sqrt{2})^2+sqrt{2}left|sin xright|cdot(1+cos(frac{5x}{2}-frac{5pi}{8}))=0.$
Т.к
квадрат неотрицателен, а косинус всегда больше или равен -1, то левая
часть - это сумма двух неотрицательных слагаемых. Она может быть равна
0, только когда каждое слагаемое равно 0, т.е. одновременно должно
выполняться $sin x=pm 1/sqrt{2}$ и
$cos(frac{5x}{2}-frac{5pi}{8})=-1.$ Это будет, когда
$x=pi/4+pi k/2$ и $x=13pi/20+4pi n/5.$ Пересечение этих множеств находим из условия $pi/4+pi k/2=13pi/20+4pi n/5$ , что равносильно $5k-8n=4,$ откуда k=4+8m, n=2+5m. Таким образом ответ $xin{frac{9pi}{4}+4pi m}.$