боковые стороны АВ и DC трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39,а основание ВС равно 12. Биссектриса угла АDC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Трапеция АВСД: АВ=36, СД=39, ВС=12
Бисскетриса ДЕ проходит через середину стороны АВ в точке Е: АЕ=ЕВ
Через точку Е проведем прямую ЕК, параллельную основаниям трапеции - это будет средняя линия трапеции (АЕ=ЕВ=АВ/2=18, СК=КД=СД/2=19,5).
ΔЕКД - равнобедренный, т.к. углы при основании <КЕД=<КДЕ (исходя из того, что накрест лежащие <КЕД=<АДЕ). Значит ЕК=КД=19,5.
ЕК=(АД+ВС)/2
19,5=(АД+12)/2
АД=27.
Опустим на основание АД из вершины В высоту ВН и из вершины С высоту СМ - они равны, значит и ВС=НМ=12.
АД=АН+НМ+МД
АН+МД=АД-НМ=27-12=15
МД=15-АН
Из прямоугольного ΔАВН: ВН²=АВ²-АН²
Из прямоугольного ΔСДМ: СМ²=СД²-МД²
АВ²-АН²=СД²-МД²
36²-АН²=39²-МД²
МД²-АН²=225
(15-АН)²-АН²=225
225-30АН+АН²-АН²=225
АН=0, МД=15
Значит высота ВН=АВ=36
Площадь трапеции S=(ВН*(АД+ВС)/2=36(27+12)/2=702.

..........
Через  вершины  С  проведем  СQ | | AB  ;  Q∈[AD] ; ABCQ -параллелограмм.
S(ABCD)/S(CQD) =(AD+BC)/QD ; 
S(ABCD) =  S(CQD) *(AD+BC)/QD ;
а площадь    ΔCQD можно  вычислить по формуле Герона .

Здесь , оказывается ,  намного проще:
 QC =AB =36 =3*12 ;QD=AD - AQ =AD -BC=27 -12 =15 =3*5 ;
CD =39=3*13 , т.е.  ΔCQD - прямоугольный (даже оказался египетским  или Пифагоровым   треугольником ) .
<CQD =90°   (< BAD =90° - трапеция прямоугольная  ,  AB -высота).

S(ABCD) =AB*(AD +BC)/2  =36*(27 +12)/2 =18*39 =702.