Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 5, а площадь круга, описанного около основания пирамиды равна 12Pi. Найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду.

В сечении правильной пирамиды, проведенном через апофемы  граней имеем равнобедренный треугольник с основанием 2а, а=R - b, a=R - R(1 - cos30).
Найдем R из соотношения S=12π=πR^2, R=√12=3,46.
a=3,46 - 3,46(1 - √3/2)=3,46(1 - 0,134)=3, 2a=6. Площадь этого Δ :
s=a*h, h^2=L^2 - a^2, s=a*√(25 -9=12. Радиус шара, вписанного в пирамиду 
равен радиусу вписанной в Δ окружности  r = s/p = 12/8= 1,5.

Пирамида SАВСДЕF c вершиной S, в основании - правильный шестиугольник АВСДЕF.
Высота пирамиды SH, апофема (высота боковой грани АSВ) пирамиды SK=5.
Т.к. площадь круга S=πR², то радиус  описанной  окружности  правильного  шестиугольника R=АН=ВН=√S/π=√12π/π=2√3, значит и сторона  шестиугольника АВ= R=2√3.
Радиус вписанной окружности в шестиугольник r=КН=АВ*√3/2=2√3*√3/2=3
Из прямоугольного ΔSKH найдем SH:
SH²=SK²-KH²= 25-9=16.
SH=4
Центр шара О, вписанного в пирамиду, лежит на высоте SH, а точка Р касания шара и боковой грани ASB лежит на апофеме SК. Радиус шара РО=ОН.
Прямоугольные ΔSOP (<SPO=<SKH=90°) подобен ΔSКН по острому углу (<S-общий).
SO/SК=PO/KH
SO=SH-OH=SH-PO=4-PO
(4-PO)/5=PO/3
12-3PO=5PO
PO=12/8=3/2=1,5