Медиана CM и высота CH треугольника ABC делят угол ACB на три равные части. Найдите угол ACB.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Hrisula

Дан треугольник АСВ.

СН- высота.

СМ- медиана. ⇒

АМ=МВ

СМ - высота и делит угол АСМ на равные углы.
Если высота треугольника делит угол на два равных, она - биссектриса и медиана, и этот треугольник равнобедренный. ⇒

АН=НМ.

Пусть АН=НМ=х.

СМ - медиана треугольника АСВ,

АМ=МВ=2х

∠ АСН=∠НСМ=∠МСВ ⇒

СМ- биссектриса угла НСВ.

Треугольник СНВ - прямоугольный с прямым углом Н.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную ему сторону в отношении прилежащих сторон.

Следовательно, т.к. НМ:МВ=1:2, то
СН:СВ=1:2

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то этот катет противолежит углу 30º.

Или, иначе,
sin∠CBH=СН:CB=1/2, - это синус 30º

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов =90º ⇒
∠ НСВ=90º-3º0=60º ⇒ ∠АСН=1/2∠ НСВ=30º⇒

∠АСВ=90º