Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S=A+Bt+Ct^2+Dt^3 (C=0,1 м/с^2; D=0,03 м/с^3). Определите: через сколько времени после начала движения ускорение "a" тела будет равно 2 м/с^2. Найдите среднее ускорение "а" тела за этот промежуток времени

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Exponena

Зависимость пути от времени:
$S=A+Bt+Ct^2+Dt^3$ (1)
C=0,1 м/с²; D=0,03 м/с³

Скорость тела определяется как 1-я производная пути по времени. Т.е.
$v(t)=(A+Bt+Ct^2+Dt^3)'=B+2Ct+3Dt^2$ (2)
Ускорение - 2-я производная пути по времени или 1-я производная скорости по времени:
$a(t)=v'(t)=S''(t)=(B+2Ct+3Dt^2)'=2C+6Dt$ (3)
Чтобы определить момент времени в который ускорение равно 2, приравниваем выражение для ускорения (3) 2. И решаем полученное уравнение относительно t.
$2C+6Dt=2$
$6Dt=2-2C=2(1-C)$
$t= frac{ 2(1-C)}{6D}= frac{ 1-C}{3D}=frac{ 1-0,1}{3 cdot 0,03}=frac{ 0,9}{3 cdot 0,03}=frac{ 0,3}{ 0,03}=10$ c
Так. А вот ,чтобы найти среднее ускорение за промежуток времени необходимо изменение (приращение) скорости за этот интервал разделить на величину данного интервала.
$textless a textgreater = frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}$ (4)
$textless a textgreater _{10}= frac{(B+2Ccdot 10+3D cdot 10^2)-(B+2C cdot 0+3D cdot 0^2)}{10-0}= frac{2Ccdot 10+3D cdot 10^2}{10}$
$= 2C+3D cdot 10=2cdot 0,1+3 cdot 0,03 cdot 10=0,2+0,9=1,1$ м/с²
Ответ t=10 с. <a>=1,1 м/с²