В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD угол при вершине D
равен 60°. Известно, что AD=30, CD=15.
а) Докажите, что диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.
б) Найдите радиус описанной около трапеции окружности и площадь трапеции.

Ответ: Пусть BH = CM — высота трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник CMD. ∠СDM=60° (по условию), значит, ∠MCD=30°. Отсюда следует, что MD = 1/2 CD = 7,5. Следовательно, MD = AH = 7,5. Откуда HM = BC = 15. Значит, треугольник BCD — равнобедренный. ∠BCD = 120°. ∠CBD = 30°. Так как ∠ABC = ∠BCD, то ∠ABD = ∠ABC — ∠CBD = 120°—30°=90°. Таким образом, диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.

Радиус окружности, описанной около трапеции равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABD. Так как треугльник ABD — прямоугольный, то его гипотенуза AD является диаметром окружности. Значит, радиус описанной окружности равен 1/2 AD = 15.