На доске выписываются числа по следующему правилу: в первой строке число 1, во второй строке два числа 2 и 3, в третьей строке три числа 3, 4 и 5 и т.д. (в n строке стоят n последовательных натуральных чисел, начиная с n). Сколько раз на доске будет выписано число 2019?

В 2019-й строке будет 2019 чисел, начиная с 2019. Это будет последняя строка, где будет присутствовать это число. Нужно найти номер строки, в которой 2019 появится в первый раз.

Каждая n строка заканчивается числом n+(n-1) = 2n-1. Значит

2n-1 = 2019

2n = 2020

n = 1010

Первый раз число 2019 будет в 1010-й строке, последний в 2019-й.

2019-1010+1 = 1010 раз число 2019 будет выписано на доске (прибавляем 1, т.к. нужно учесть также 1010-ю строку)