Решить неравенство ​

( |x - 1| - 2)/(|x - 1| - 3) ≤ 2

ОДЗ |x-1| ≠ 3

x - 1 ≠ 3 ⇒ x ≠ 4

x - 1 ≠ -3 ⇒ x ≠ - 2

( |x - 1| - 2)/(|x - 1| - 3) - 2 ≤ 0

( |x - 1| - 2 - 2|x - 1| + 6)/(|x - 1| - 3) ≤ 0

(4 - |x - 1|)/(|x - 1| - 3) ≤ 0

раскрываем  модуль

1. |x - 1| = x - 1    x ≥ 1

(4 - (x - 1))/((x - 1) - 3) ≤ 0

(5 - x)/(x  - 4) ≤ 0

(x - 5)/(x - 4) ≥ 0

применяем метод интервалов

+++++++++(4) ---------------- [5] ++++++++++

x ∈ (-∞, 4) U [5, +∞)

вспоминаем ограничения

x ≥ 1    x ≠ 4

получили x ∈ [1, 4) U [5, +∞)

2. |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x   x < 1

(4 - (1 - x))/((1 - x) - 3) ≤ 0

(3 + x))/(-2 - x) ≤ 0

(3 + x))/(2 + x) ≥ 0

применяем метод интервалов

+++++++++[-3] ------------ (-2) +++++++++

x ∈ (-∞, -3] U (-2, +∞)

вспоминаем ограничения

x < 1    x ≠ -2

x ∈ (-∞, -3] U (-2, 1)

объединяем оба решения

x ∈ (-∞, -3] U (-2,  4) U [5, +∞)