Катеты прямоугольного треугольника 20 и 50 см. Определить радиус окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух других сторон треугольника.

Смотря какая окружность. Если она(окружность) описанная, то решение будет таким:
Формула для нахождения стороны a= 2R * sin180/n
20=2R*sin180/3 (так как у треугольника 3 стороны)
20=2R*sin60
20=2R*√3/2
20=R√3 ⇒ R=20√3÷3
Если же окружность вписанная то, зная радиус описанной окружности можно найти радиус вписанной.
r=R*cos180/3
r=20√3÷3 * cos60
r= 20√3÷3 * 0,5 ⇒ r=10√3÷3.
Вот и вся задача.