Помогите пожалуйста решить дифференциальное уравнение по условию

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(2,5) и обладающей свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение:

По геометрическому смыслу производной

$y'={rm tg}alpha=k$

Пусть точка касания имеет координаты (x;y), тогда касательная отсекает на осях отрезки 2х и 2у. Угловой коэффициент касательной равен -y/x. Имеем дифференциальное уравнение: $y'=-dfrac{y}{x}$ с начальным условием $y(2)=5$

Данное дифференциальное уравнение $y'=-dfrac{y}{x}$ является уравнением с разделяющимися переменными.

$dfrac{dy}{dx}=-dfrac{y}{x}~~~Leftrightarrow~~~displaystyle int dfrac{dy}{y}=-int dfrac{dx}{x}~~~Leftrightarrow~~~ ln|y|=-ln |x|+ln C\ \ ln|y|=lnleft|frac{C}{x}right|\ \ \ y=dfrac{C}{x}$

Подставляя начальное условие, мы найдем константу C

$5=dfrac{C}{2}~~~~Rightarrow~~~ C=10$

Искомое уравнение кривой: $y=dfrac{10}{x}$