ТОЛЬКО ДЛЯ УМНЫХ!!!14 БАЛЛОВ!Точка D лежит вне плоскости треугольника ABC на равном расстоянии от его вершин.Найдите расстояние от проекции точки D на эту плоскость до вершин,если AB=BC=a,AC=b.

Ответ

Автор - 65536

Пусть точка D проецируется на плоскость треугольника в точку F. Тогда расстояние до какой-то точки плоскости М находится по формуле $rho=sqrt{DF^2+FM^2}$ (DF⊥FM по определению проекции). Раз расстояние до всех вершин одинаково, то FA=FB=FC, иными словами, D проецируется в центр описанной окружности треугольника. Искомое расстояние можно найти как радиус этой окружности по формуле $R=frac{AB*BC*AC}{4S_{ABC}}=frac{a^2b}{2bh}=frac{a^2b}{2bsqrt{a^2-frac{b^2}{4}}}=frac{a^2}{sqrt{4a^2-b^2}}$