Найти частное решение дифференциального уравнения:

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Перепишем данное дифференциальное уравнение в виде:

$y'+dfrac{y}{x^2}=-dfrac{1}{x^3}$

Умножив обе части уравнения на $mu(x)=e^{int frac{dx}{x^2}}=e^{-1/x}$ , мы получим

$e^{-1/x}cdot y'+e^{-1/x}cdot dfrac{y}{x^2}=-dfrac{e^{-1/x}}{x^3}\ \ \ Big(e^{-1/x}cdot yBig)'=-dfrac{e^{-1/x}}{x^3}$

Интегрируем обе части уравнения

$e^{-1/x}cdot y=displaystyle int -dfrac{e^{-1/x}}{x^3}dx$

Решим интеграл стоящий справа уравнения отдельно

$displaystyle int -dfrac{e^{-1/x}dx}{x^3}=Big{dfrac{1}{x}=t;~ dy=-dfrac{dx}{x^2}Big}=int te^{-t}dt=left{begin{array}{ccc}u=t;~~ du=dt\ \ dv=e^{-t}dt;~~ v=-e^{-t}end{array}right}=$

$=displaystyle -te^{-t}+int e^{-t}dt=-te^{-t}-e^{-t}+C=-e^{-1/x}Big(dfrac{1}{x}+1Big)+C$

Получаем

$y=-dfrac{1}{x}-1+Ce^{-1/x}$ — общее решение

Подставляя начальные условия, найдем константу C

$0=-1-1+Ce^{-1}\ \ Ce^{-1}=2\ \ C=2e$

Частное решение: $y=-dfrac{1}{x}-1+2ecdot e^{-1/x}=-dfrac{1}{x}-1+2e^{frac{x-1}{x}}$