В городе проживает n+1 человек. Один из них, узнав новость, сообщает её другому, тот - третьему и т.д, причем передача новости осуществляется таким образом: человек, которому сообщена новость, случайным образом выбирает одного из n жителей и сообщает ему, тот поступает так же и так далее. Найти вероятность того, что новость будет передана n раз без повторного сообщения её кому-нибудь. →С применением формул, подробным описанием

Ответ

Автор - saddatimov

Давайте для начала формализуем условие. У насть есть вероятностное простравнство Ω. Что такое в нём исход? Исход - это как раз передача сообщения n раз. Исход можно закодировать последовательностью n+1 чисел. Каждое число в последовательности обозначает жителя, а следующее жителя которому будет передано сообщение. Получаем, что:

$Omega = { (a_1,a_2,ldots,a_{n+1}) ,, | , , a_i neq a_{i+1} }$

Из условия следует, что каждый исход равновероятен. $P(omega) = frac{1}{n^n}.$

Теперь посчитаем вероятность, что новость будет передана n раз без повторного сообщения её кому-нибудь. Обозначим это событие как A. Заметим, что каждый благоприятный исход (лежит в А) представляет собой перестановку (n+1)-го чисел. Всего таких перестановок $(n+1)!$ . Теперь можно считать вероятность:

$P(A) = sum_{omega in A} P(omega) = frac{|A|}{n^n} = frac{(n+1)!}{n^n}$