Три окружности с радиусами 2,3 и 10 попарно касаются друг друга внешним образом. Найти расстояние от центра меньшей окружности до середины отрезка, соединяющего центру двух других окружностей.

Ответ:

Дано:

R₁₀=10

R₃=3

R₂=2

Окружности попарно касаются друг друга внешним образом (см. рисунок).

Найти: О₂А

Решение. По условию точка А середина отрезка О₃О₁₀. Тогда О₂А будет медианой для треугольника О₂О₃О₁₀.

Расстояния между центрами будут:

О₂О₃=2+3=5, О₂О₁₀=2+10=12 и О₃О₁₀=3+10=13.

Следующие вычисления показывают, что для треугольника О₂О₃О₁₀ с гипотенузой О₃О₁₀ верна теорема Пифагора:

О₃О₁₀²=13²=169 и О₂О₃²+О₂О₁₀²=5²+12²=25+144=169

то есть О₃О₁₀²=О₂О₃²+О₂О₁₀², откуда следует, что треугольник О₂О₃О₁₀ прямоугольный.

Медиана, опущенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике равна половине длины гипотенузы. В силу этого:

О₂А=13/2=6,5.

Ответ: 6,5.