200 баллов.срочно. в одной урне 6 белых и 5 черных шаров а в другой 3 белых и 5 черных шаров .Из первой урны случайным образом вынимают 4 шаров и опускают вовторую урну .После этого из второй урны такше случайно вынимают 3 шаров .Найти вероятность того что все шары вынутые из второй урны белые

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Будем разбивать на несколько случаев.

1) Если из первой урны взяли 4 чёрных шара. Вероятность достать четыре чёрных шара равна $dfrac{5}{11}cdot dfrac{4}{10}cdot dfrac{3}{9}cdotdfrac{2}{8}=dfrac{1}{66}$ . Тогда во второй урне будет 3 белых и 9 черных шаров. Вероятность того, что среди трех отобранных шаров из второй урны окажутся все белые равна $dfrac{3}{12}cdotdfrac{2}{11}cdotdfrac{1}{10}=dfrac{1}{220}$ . По теореме умножения $P_1=dfrac{1}{66}cdotdfrac{1}{220}$

2) Если из первой урны взяли 1 белый шар и 3 чёрных. Вероятность такого события равна $dfrac{C^1_6cdot C^3_5}{C^4_{11}}=dfrac{6cdot10}{330}=dfrac{2}{11}$ . Тогда во второй урне будет 4 белых и 8 черных шаров. Вероятность того, что среди отобранных шаров из второй урны все белые равна $dfrac{4}{12}cdotdfrac{3}{11}cdotdfrac{2}{10}=dfrac{1}{55}$ . По теореме умножения: $P_2=dfrac{2}{11}cdotdfrac{1}{55}$

3) Из первой урны взяли 2 белых шара и 2 чёрных. Вероятность такого события: $dfrac{C^2_6cdot C^2_5}{C^4_{11}}=dfrac{15cdot10}{330}=dfrac{15}{33}$ . Во второй урне будет 5 белых и 7 черных шаров. Вероятность того, что среди отобранных 3 шаров из второй урны все окажутся белыми равна $dfrac{5}{12}cdotdfrac{4}{11}cdotdfrac{3}{10}=dfrac{1}{22}$ . По теореме умножения : $P_3=dfrac{15}{33}cdotdfrac{1}{22}$

4) Из первой урны взяли 3 белых шара и 1 чёрный шар. Вероятность достать 3 белых шара и 1 чёрный шар равна $dfrac{C^3_6cdot C^1_5}{C^4_{11}}=dfrac{20cdot5}{330}=dfrac{10}{33}$ . Во второй урне останется 6 белых и 6 чёрных шаров. Вероятность того, что среди отобранных шаров из второй урны окажутся все белыми равна $dfrac{6}{12}cdotdfrac{5}{11}cdotdfrac{4}{10}=dfrac{1}{11}$ . По теореме умножения: $P_4=dfrac{10}{33}cdotdfrac{1}{11}$

5) И, наконец, когда из первой урны урны взяли все четыре белых шаров. Вероятность такого события: $dfrac{6}{11}cdotdfrac{5}{10}cdotdfrac{4}{9}cdotdfrac{3}{8}=dfrac{1}{22}$ . Во второй урне остается 7 белых и 5 черных шаров. Вероятность того, что среди отобранных 3 шаров из второй урны окажутся все белыми равна $dfrac{7}{12}cdotdfrac{6}{11}cdotdfrac{5}{10}=dfrac{7}{44}$ . По теореме умножения: $P_5=dfrac{1}{22}cdotdfrac{7}{44}$

Итого, по теореме сложения:

$P=P_1+P_2+P_3+P_4+P_5=dfrac{1}{66}cdotdfrac{1}{220}+dfrac{2}{11}cdotdfrac{1}{55}+dfrac{15}{33}cdotdfrac{1}{22}+\ \ +dfrac{10}{33}cdotdfrac{1}{11}+dfrac{1}{22}cdotdfrac{7}{44}=dfrac{427}{7260}approx 0{,}0588$