Здравствуйте. Одной девочке сказали, что на ЕГЭ по математике будет эта формула: корень 2 sin(2x)*sin(x+пи/4)=2sin пи/4, что на фото. Однако при моем 11 классе, почти год назад, во время базовой и повышенной математики на ЕГЭ такой формулы не было. Кто-нибудь может рассказать и объяснить как решается и раскрывается эта формула? Буду очень признательна.

Ответ:

x = Π/4 + 2Π*n, n € Z

Пошаговое объяснение:

Это триг. Уравнение. Правая часть

2sin(Π/4) = 2*√2/2 = √2.

Получаем

√2*sin(2x)*sin(x+Π/4) = √2

sin(2x)*sin(x+Π/4) = 1

Функция синуса принимает значения [-1; 1].

А здесь произведение двух синусов равно 1.

Если один синус = a € (0; 1), то второй синус = 1/а > 1 - не может быть.

Если один синус = а € (-1; 0), то второй синус = 1/а < -1 - не может быть.

Значит, возможны два варианта.

1) оба синуса равны 1. Система

{ sin(2x) = 1

{ sin(x+Π/4) = 1

Отсюда

{ 2x = Π/2 + 2Π*k, k € Z

{ x + Π/4 = Π/2 + 2Π*m, m € Z

Получаем

{ x = Π/4 + Π*k

{ x = Π/4 + 2Π*m

Общий корень

x1 = Π/4 + 2Π*n, n € Z

2) оба синуса равны -1. Система

{ sin(2x) = -1

{ sin(x+Π/4) = -1

Отсюда

{ 2x = -Π/2 + 2Π*k, k € Z

{ x + Π/4 = -Π/2 + 2Π*m, m € Z

Получаем

{ x = -Π/4 + Π*k = 3Π/4 + Π*(k-1)

{ x = -3Π/4 + 2Π*m = 5Π/4 + 2Π*(m-1)

Эти корни не пересекаются, поэтому решений нет.