Докажите что для любого натурального значения n выполняется равенство 1*4+2*7+3*10+...+n(3n+1)=n(n+1)^2.

База: n=1      1*4=1*(1+1)^2  верно
Переход: предположим, что существует k=n, где 1*4+...+ к(3к+1)=к(к+1)^2 - верно

Докажем, что это утверждение верно для n=k+1, то есть 1*4+...к(3к+1)+ (к+1)(3к+4)=(к+1)(к+2)^2 

1*4+...к(3к+1)+ (к+1)(3к+4)=к(к+1)^2+ (к+1)(3к+4)=(к+1)(к^2+к+3к+4)=(к+1)(к^2+4к+4)=(к+1)(к+2)^2

По аксиоме индукции утверждение верно для любого натурального n.