На двух пересекающихся окружностях отметили 8 точек так, что на каждой окружности получилось по 5 точек. Можно ли расставить в этих точках числа от 1 до 8 так, чтобы сумма чисел на одной окружности и на другой равнялась бы 25?

Покажем, что такая расстановка возможна. Подсчитаем сумму чисел от 1 до 8: 1 + 2 + ... + 8 = 36. По условию сумма чисел на каждой окружности должна равняться 25. То есть общая сумма на обоих окружностях будет равна 2*25 = 50. Заметим, что две точки из восьми принадлежат обеим окружностям и являются общими для них. Поэтому 50 = 36 + x + y, где x и y - числа стоящие в двух общих для окружностей точках. Тогда x + y = 50 - 36 = 14. Среди чисел от 1 до 8 только два дают в сумме 14. Это числа 6 и 8. Значит в двух общих для обеих окружностей точках стоят числа 6 и 8. По остальным шести точкам мы должны распределить числа, в сумме дающие 36 - 14 = 22. То есть в трёх точках на каждой окружности стоят числа в сумме дающие 25 - 14 = 11. На одной окружности это могут быть числа 1, 3 и 7, а на другой 2, 4 и 5.