Какое-то хитрое уравнение

Ответ

Автор - yugolovin

Рассмотрим функцию $f(x)=sqrt{20+x}.$ Уравнение можно записать в виде

$f(f(f(x)))=x.$

Оказывается, уравнение такого вида с монотонно возрастающей функцией $f(x)$ равносильно уравнению

$f(x)=x.$

Равносильность докажем ниже, а сначала решим уравнение

$sqrt{20+x}=xLeftrightarrow left { {{xge 0} atop {20+x=x^2}} right. Leftrightarrow left { {{xge 0} atop {(x-5)(x+4)=0}} right. Leftrightarrow x=5$

Переходим теперь к теоретической части. То, что решение уравнения f(x)=x является решением уравнения f(f(f(x)))=x, сомнений не вызывает. Надо доказать только, что другие корни появиться не могут. В самом деле, если x не является корнем уравнения f(x)=x, то возможны два случая. Если f(x)>x, то в силу возрастания функции f можно утверждать, что f(f(x)>f(x)>x, а тогда и f(f(f(x)))>f(f(x))>f(x)>x, то есть такой x не может быть решением уравнения f(f(f(x)))=x. Аналогичное рассуждение в случае f(x)<x.

Ответ: 5