Найти частное решение(частный интеграл) дифференциального уравнения.
$(1-x^2)y'+xy=1, y(0)=1$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

$(1-x^2), y'+xy=1; ; ,; ; y())=1\\y'+frac{x}{1-x^2}cdot y=frac{1}{1-x^2}\\y=uv; ,; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'+frac{x}{1-x^2}cdot uv=frac{1}{1-x^2}\\u'v+ucdot (v'+frac{x}{1-x^2}cdot v)=frac{1}{1-x^2}\\a); ; v'+frac{x}{1-x^2}cdot v=0; ; ,; ; int frac{dv}{v}=int frac{-x, dx}{1-x^2}\\ln|v|=frac{1}{2}cdot ln|1-x^2|; ; ,; ; v=sqrt{1-x^2}\\b); ; u'v=frac{1}{1-x^2}; ; ,; ; u'cdot sqrt{1-x^2}=frac{1}{1-x^2}; ,\\int du=int frac{dx}{sqrt{(1-x^2)^3}}$

$int frac{dx}{sqrt{(1-x^2)^3}}=Big [; x=sint; ,; dx=cost, dt; ,; 1-x^2=1-sin^2t=cos^2t; Big ]=\\=int frac{cost, dt}{sqrt{cos^6t}}=int frac{cost,dt}{cos^3t}=int frac{dt}{cos^2t}=tgt+C_1=tg(arcsinx)+C_1=frac{x}{sqrt{1-x^2}}+C_1; ;\\u=frac{x}{sqrt{1-x^2}}+C; ;\\c); ; y=uv; ,; ; y=sqrt{1-x^2}cdot (frac{x}{sqrt{1-x^2}} +C)=x+Csqrt{1-x^2}; ;\\d); ; y(0)=1:; ; 1=0+Ccdot sqrt{1-0^2}; ,; ; C=1\\y_{chastn.}=x+sqrt{1-x^2}$