В одном сосуде 1554 литра воды,другой пустой.Из первого сосуда переливают ½ воды во второй, затем из второго переливают ⅓ воды в первый, затем из первого переливают ¼ во второй и так далее. Сколько литров воды будет в первом сосуде после 2019-го переливания.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - axatar

Ответ:

777 литра

Пошаговое объяснение:

Пусть в 1-сосуде Х литр воды, а во 2-сосуде 0 литр воды.

1-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:

1-сосуд: $X-frac{X}{2} = frac{2*X}{2}-frac{X}{2} =frac{X}{2}$

2-сосуд: $0+frac{X}{2} = frac{X}{2}$

Объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр!

2-переливание. Переливаем со 2-сосуда в 1-сосуд:

1-сосуд: $frac{X}{2}+frac{X}{2}:3=frac{3*X}{6}+frac{X}{6}=frac{4*X}{6}=frac{2*X}{3}$

2-сосуд: $frac{X}{2}-frac{X}{2}:3=frac{3*X}{6}-frac{X}{6}=frac{2*X}{6}=frac{X}{3}$

Объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр!

3-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:

1-сосуд: $frac{2*X}{3}-frac{2*X}{3}:4=frac{8*X}{12}-frac{2*X}{12}=frac{6*X}{12}=frac{X}{2}$

Так как, объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр, то

2-сосуд: $frac{X}{2}$

Теперь покажем, что в нечётных числах переливания всегда

1-сосуд: $frac{X}{2}$

2-сосуд: $frac{X}{2}$

Пусть n=2·k+1.

n-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:

1-сосуд: $frac{X}{2}$

2-сосуд: $frac{X}{2}$

(n+1)-переливание. Переливаем со 2-сосуда в 1-сосуд:

1-сосуд: $frac{X}{2}+frac{X}{2}:(n+2)=frac{(n+2)*X}{2*(n+2)}+frac{X}{2*(n+2)}=frac{(n+2)*X+X}{2*(n+2)}=frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}$

2-сосуд: $frac{X}{2}-frac{X}{2}:(n+2)=frac{X*(n+2)}{2*(n+2)}-frac{X}{2*(n+2)}=frac{X*(n+1)}{2*(n+2)}$

(n+2)-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:

1-сосуд: $frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}-frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}:(n+3)=frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}-frac{(n+3)*X}{2*(n+2)*(n+3)}=frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}-frac{X}{2*(n+2)}=frac{(n+3)*X-X}{2*(n+2)}=frac{(n+2)*X}{2*(n+2)}=frac{X}{2}$

Так как, объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр, то

2-сосуд: $frac{X}{2}$

что требовалось показать.

Отсюда, 2019 - нечётное и X=1554 литра, тогда

1-сосуд: $frac{1554}{2}=777$