Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.

1)y(штрих)+2xy=2x $y^{3}$
2)(1+ $x^{2}$ )у(2 штриха)-2xy(штрих)=0,y(0)=0,y(штрих)(0)=3.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

1) - уравнение с разделяющимися переменными. 2)- ДУ 2 порядка, допускающее понижение порядка.

$1); ; y'+2xy=2xy^3\\y'=2xcdot (y^3-y); ; qquad Big [; y'=f(x)cdot g(y); Big ]\\frac{dy}{dx}=2xcdot (y^3-y)\\int frac{dy}{y, (y-1)(y+1)}=int 2x, dx\\star ; ; int frac{dy}{y, (y-1)(y+1)}=-int frac{dy}{y}+frac{1}{2}int frac{dy}{y-1}-frac{1}{2}int frac{dy}{y+1}=\\=-ln|y|+frac{1}{2}, ln|y-1|-frac{1}{2}; ln|y+1|+C=C+ln|frac{1}{y}|+frac{1}{2}, lnBig |frac{y-1}{y+1}Big |=\\=C+lnBig |frac{1}{y}Big |+lnsqrt{frac{y-1}{y+1}}; ; star$

$lnBig |frac{1}{y}Big |+lnsqrt{frac{y-1}{y+1}}=x^2+C_1$

$2); ; (1+x^2), y''-2xy'=0; ; ,; ; y(0)=0; ,; y'(0)=3\\y''-frac{2x}{1+x^2}cdot y'=0\\y'=p(x); ,; ; y''=p''(x); ; ,; ; p'-frac{2x}{1+x^2}cdot p=0; ,; ; p'=frac{2x}{1+x^2}cdot p; ,\\frac{dp}{dx}=frac{2x}{1+x^2} ; ; ,; ; int dp=int frac{2x, dx}{1+x^2}; ,\\p=ln|1+x^2|+C_1; ; ,; ; y'=ln(1+x^2)+C_1; ,; ; frac{dy}{dx}=ln(1+x^2)+C_1\\int dy=int ln(1+x^2), dx+int C_1, dx\\y=C_1x+int ln(1+x^2), dx$

$star ; int ln(1+x^2), dx=Big [; u=ln(1+x^2); ,; du=frac{2x, dx}{1+x^2}; ,; dv=dx; ,; v=x; Big ]=\\=xcdot ln(1+x^2)-2int frac{x^2, dx}{1+x^2}=xcdot ln(1+x^2)-2int (1-frac{1}{1+x^2}), dx=\\=xcdot ln(1+x^2)-2x+2arctgx+C; ; star \\y=C_1x+xcdot ln(1+x^2)-2x+2arctgx+C_2\\y(0)=0:; ; 0=C_2\y'(0)=3:; ; 3=ln1+C_1; ; ,; ; C_1=3\\y_{chastn.resh.}=3x+xcdot ln(1+x^2)-2x+2arctgx$

Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение удовлетворяющее заданным начальным условиям. 1)y(штрих)+2xy=2x 2)(1+)у(2 штриха)-2xy(штрих)=0,y(0)=0,y(штрих)(0)=3.

Ответ

Проверено экспертом