1) Из всех прямоугольников с периметром 48 см найдите тот, у которого площадь наибольшая.
2) Площадь прямоугольника 49 см2. При каком значении длины прямоугольника его периметр будет наименьшим?

Ответ: для первого - квадрат со стороной 12.

Объяснение:

1) P = 2a + 2b, S = ab. Докажем, что прямоугольник имеет наибольшую площадь, если он является квадратом.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна х. Тогда вторая равна .

составим функцию: S(x) = x(24 - x) = 24x - x².

Найдем производную: S'(x) = 24 - 2x.

24 - 2х = 0; х = 12 - критическая точкаю

При переходе через точку х = 12 производная меняет знак с + на -. Следовательно, х - точка максимума, и в ней значение функции S(x) будет наибольшим.

Если а = 12 - первая сторона, то b = 24 - a = 12 - вторая сторона. Следовательно, искомый прямоугольник - квадрат со стороной 12 см.