Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки ((10√2)/3;2/3), ((5√2)/2;1). Найти значения большой полуоси а и малой полуоси b данного эллипса.

Подставим координаты точек А и В в уравнение эллипса с учётом того, что он симметричный относительно осей координат.

(200/9а²) + (4/9в²) = 1,

(50/4а²) + (1/в²) = 1.

Приводим к общему знаменателю.

200в² + 4а² = 9а²в².

50в² + 4а² = 4а²в².

Умножим обе части первого уравнения на 4, а второго на 9.

800в² + 16а² = 36а²в².

450в² +36а² = 36а²в².

Вычтем из первого второе.

350в² + 20а² = 0.

Отсюда получаем а² = (35/2)в² и подставим во второе уравнение.5

50в² + 70в² = 70в⁴.

Получаем биквадратное уравнение  70в⁴ - 120в² = 0.

Сократим на 10 и сделаем замену в² = t.

7t² - 12t = 0,

t(7t - 12) = 0. t1 = 0, t2 = 12/7.

Отсюда находим значение полуосей:

в1 = 0 (не принимаем) и в2 = +-√(12/7) =+-2√(3/7).

а = +-√((35/7)*(12/7)) = +-√30.

Ответ: |а| = √30,  |b| = 2√(3/7).