Пусть x,y,z – натуральные числа. Известно, что произведение xyz=6266880. На какую максимальную степень двойки может делиться x^2+y^2+z^2?

Ответ:

9

Пошаговое объяснение:

заметим, что 6266880=2^13 * 3^2 *5*17

Можно увидеть, что если за скобки выражения х²+у²+z² вынести старшую степень двойки х²+у²+z²=(2^n)*(x1²+y1²+z1²),

то х1²+y1²+z1² ≠ 0 mod 4 (так как a²≡0; 1 mod 4 и одно из x1², y1², z1² ≠0 mod 4).

Следовательно,х1²+y1²+z1² делится максимум на первую степень двойки.

Тогда максимальная степеньдвойки будет, когда можно вынести у х², y², z² максимальную степень 2 и х1²+y1²+z1² делится на 2.

Для этого степени двойки между x,y,z должны быть распределены почти равномерно. Если присвоить каждому числу x,y,z четвертую степень двойки, то xyz содержит 12-ую степень двойки. Значит, добавим к любой переменной,например, х, еще одну степень двойки. Следовательно, х²+y²+z² кратно 2^9