Найдите все четырехзначные числа кратные 45, которые записаны с помощью четных цифр, так что среди них есть одинаковые. Ответ обоснуйте.

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!30 баллов дам

Ответ:

Обозначим четырехзначное число через abcd, где a, b, c, d четные числа. По условию число abcd кратно 45 (=5·9) и поэтому кратно 5 и 9.

Признак делимости числа на 5:

Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

Отсюда, в силу то, что все цифры четные, d=0!

Признак делимости числа на 9:

Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Тогда a+b+c+d=a+b+c=k·9, где k целое число. Но a, b, c, d четные числа, поэтому k≠0 и k≠1. С другой стороны, 0≤a, b, c, d<9, тогда a+b+c<27. Отсюда заключаем, что  k=2!

Первая цифра числа должна отличной от нуля, и поэтому значениями a могут быть цифры: 2, 4, 6 и 8.

Пусть a=2. Тогда 18=2+8+8 и других возможностей нет. В этом случае получим следующее четырехзначное число кратное 45 и с четными цифрами: 2880.

Пусть a=4. Тогда 18=4+6+8=4+8+6 и других возможностей нет. В этом случае получим следующие четырехзначные числа кратное 45 и с четными цифрами: 4680, 4860.

Пусть a=6. Тогда 18=6+4+8=6+8+4=6+6+6 и других возможностей нет. В этом случае получим следующие четырехзначные числа кратное 45 и с четными цифрами: 6480, 6840, 6660.

Пусть a=8. Тогда 18=8+2+8=8+8+2=8+4+6=8+6+4 и других возможностей нет. В этом случае получим следующие четырехзначные числа кратное 45 и с четными цифрами: 8280, 8820, 8460, 8640.