Автор - R1n4ik
Пошаговое объяcнение:Задание Решить неравенство
[ sin xle frac{sqrt{3}}{2} ]
Решение Поскольку
[ left| frac{sqrt{3}}{2} right|<1 ]
, то это неравенство имеет решение и его можно решить двумя способами.
Первый способ. Решим это неравенство графически. Для этого построим в одной системе координат график синуса y=sin x и прямой y=frac{sqrt{3}}{2} (рис. 2).
Рис. 2
Выделим промежутки, на которых синусоида расположена ниже графика прямой y=frac{sqrt{3}}{2}. Найдем абсциссы {{x}_{1}} и {{x}_{2}} точек пересечения этих графиков:
[{{x}_{1}}=pi -arcsin frac{sqrt{3}}{2}=pi -frac{pi }{3}=frac{2pi }{3} ]
[{{x}_{2}}=arcsin frac{sqrt{3}}{2}+2pi =frac{pi }{3}+2pi =frac{7pi }{3}]
Получили интервал left[ -frac{4pi }{3}; frac{pi }{3} right], но так как функцию y=sin x периодическая и имеет период 2pi, то ответом будет объединение интервалов: left[ frac{2pi }{3}+2pi k; frac{7pi }{3}+2pi k right],quad kin Z.
Второй способ. Построим единичную окружность и прямую y=frac{sqrt{3}}{2}, точки их пересечения обозначим {{P}_{{{x}_{1}}}} и {{P}_{{{x}_{2}}}} (рис. 3). Решением исходного неравенства будет множество точек ординаты, которых меньше frac{sqrt{3}}{2}. Найдем значение {{x}_{1}} и {{x}_{2}}, совершая обход против часовой стрелки, {{x}_{1}}<{{x}_{2}}:
Рис. 3
[{{x}_{1}}=pi -arcsin frac{sqrt{3}}{2}=pi -frac{pi }{3}=frac{2pi }{3} ]
[{{x}_{2}}=arcsin frac{sqrt{3}}{2}+2pi =frac{pi }{3}+2pi =frac{7pi }{3}]
Учитывая периодичность функции синус, окончательно получим интервалы left[ frac{2pi }{3}+2pi k; frac{7pi }{3}+2pi right],quad kin Z.
Ответ xin left[ frac{2pi }{3}+2pi k; frac{7pi }{3}+2pi right],quad kin Z
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство sin x>2
Решение Синус – функция ограниченная: left| sin x right|le 1, а правая часть данного неравенства больше единицы, поэтому решений нет.
Ответ решений нет.