Исследовать функцию и построить её график y=x³/x-1
(найти область определения D(f), выяснить чётность или не чётность переодической, найти точки пересечения с осями координат, найти асимптомы графика функций, найти промежутоки монотоности и экстремумы, найти промежутки выпуклости и точки перегиба, и построить график)

Ответ

Автор - xxxeol

Пошаговое объяснение:

ДАНО: Y = x³/(x-1)

Исследование

1. Область определения: D(х)= R{1} = (-∞;1)∪(1;+∞).

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2.Поведение в точке разрыва. LimY(1-)= -∞, LimY(1+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = 1. Неустранимый разрыв II-го рода.

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.

k = lim(+∞)Y(х)/x = х³/(x²+ x) = ∞ - коэффициент наклона.

Наклонной асимптоты нет.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0.

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0) = 0

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(0;1).

Положительна: Y>0 - X∈(-∞;0)∪(1;+∞)

7. Проверка на чётность.

Функция со сдвигом от осей симметрии - функция общего вида.

Ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ни чётная: Y(-x) ≠ Y(x)

8. Поиск экстремумов по первой производной.

$y'(x)=frac{-x^3}{(x-1)^2}+3*frac{x^2}{x-1}=frac{x^2*(2x-3)}{(x-1)^2}=0$

Корни квадратного уравнения. х1 = 0 и х2= 3/2 = 1,5.

9. Локальные экстремумы.

Минимум: Y(1,5) = 6.75 , Максимум: Y(0) = 0

10. Интервалы монотонности.

Возрастает: X∈(1.5;+∞)

Убывает: Х∈(-∞;1)∪(1;1.5)

11. Поиск перегибов по второй производной.

y''(x) = 2*x*(x²-3*x+3)/(x-1)² = 0

x = 0 и точка разрыва при Х = 1.

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(0;1).

Вогнутая - 'ложка'- X∈(-∞;0)∪(1;+∞;).

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).

Рисунок с графиком функции в приложении.