Вычислить производную, №5

Ответ

Проверено экспертом

Автор - nelle987

Ответ:

при p > 0

Объяснение:

Если функция дифференцируема в нуле, то она и непрерывна.

$displaystyle lim_{xto-0}|x|^psin x+x^2cos(|x|^{-p})=lim -|x|^{p+1}frac{sin x}x+x^2cos(|x|^{-p})=\=begin{cases}0, & p > -1\-1, & p = -1\-infty, & p < -1end{cases}$

$displaystyle lim_{xto+0}|x|^psin x+x^2cos(|x|^{-p})=lim |x|^{p+1}frac{sin x}x+x^2cos(|x|^{-p})=\=begin{cases}0, & p > -1\1, & p = -1\+infty, & p < -1end{cases}$

Функция разрывна при $pleqslant -1$ и потому при таких p не имеет производной.

Положим p > -1. По определению, производная в точке 0 будет существовать, если существует и конечен предел

$displaystyle lim_{xto0}frac{|x|^psin x+x^2cos(|x|^{-p})-0}{x-0}=lim |x|^pfrac{sin x}{x}+xcos(|x|^{-p})=\=begin{cases}+inftycdot1+0, & p<0\0cdot 1+0, & p>0end{cases}$

При -1 < p < 0 предел не является конечным, производной не существует. При p > 0 производная существует (и равна нулю)