Вычислить производную, №1

Ответ

Проверено экспертом

Автор - xERISx

$1)~x^x=e^{ln x^x}=e^{xln x}\\~~Big(x^xBig)'=Big(e^{xln x}Big)'=e^{xln x} big(xln xbig)'=\\~~=e^{ln x^x}big(x'cdot ln x+xcdot (ln x)'big)=x^xbigg(ln x+dfrac xxbigg)\\~~boxed{boldsymbol{Big(x^xBig)'=x^xbig(ln x+1big)}}$

$2)~x^{x^x}=e^{ln x^{x^x}}=e^{x^xln x}\\Big(x^{x^x}Big)'=Big(e^{x^xln x}Big)'=e^{x^xln x} big(x^xln xbig)'=\\~~~=e^{ln x^{x^x}}Big(big(x^xbig)'cdot ln x+x^xcdot (ln x)'big)=\\~~~=x^{x^x}bigg(x^xBig(ln x+1Big)ln x+dfrac {x^x}xbigg)=\\~~~=x^{x^x}bigg(x^xBig(ln^2 x+ln xBig)+x^{x-1}bigg)=\\~~~=x^{x^x}cdot x^xBig(ln^2 x+ln xBig)+x^{x^x+x-1}=\\~~~=x^{x^x+x}Big(ln^2 x+ln xBig)+x^{x^x+x-1}$

$boldsymbol{Big(x^x+x^{x^x}Big)'=}Big(x^xBig)'+Big(x^{x^x}Big)'=\\boldsymbol{=x^xbig(ln x+1big)+x^{x^x+x}Big(ln^2 x+ln xBig)+x^{x^x+x-1}}$