X+1+1/x+1/x^2+...=25/4 — вопрос №1460589

Ответ

Проверено экспертом

Автор - yugolovin

$x+1+frac{1}{x}+frac{1}{x^2}+ldots +frac{1}{x^n}+ldots =frac{25}{4}$

В левой части мы видим сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $frac{1}{x}$ . Как известно, эта сумма существует и конечна тогда и только тогда, когда знаменатель этой прогрессии по модулю меньше 1:

$left|frac{1}{x}right|<1Leftrightarrow |x|>1$ .

Предположив это, заменим левую часть уравнения на сумму прогрессии, которая вычисляется по формуле "первое слагаемое делить на один минус знаменатель":

$frac{x}{1-frac{1}{x}}=frac{25}{4}; frac{x^2}{x-1}=frac{25}{4}; 4x^2=25x-25; 4x^2-25x+25=0; left [ {{x=5} atop {x=5/4}} right.$

Поскольку оба полученных решения удовлетворяют условию |x|>1, включаем их в ответ.

Ответ: {5; 5/4}