Четырех угольник АВС вписан в окружность υ с центром О, при этом ВD – диаметр окружности. Лучи АВ и DС пересекаются в точке S. Окружность ώ, проходящая через точки А, О, С, пересекает отрезок СD в точке М (М ≠ С). Докажите, что М – середина отрезка DS

Ответ:

 Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разностивеличин дуг, заключённых между его сторонами

Следовательно,

∠ АКД=(Дуга АД-дуга ВС):22*36°=Дуга АД-дуга ВС

   Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Следовательно,

∠ ВNС= ( дуга АД+дуга ВС):22*68°= дуга АД+дуга ВС

Составим систему и сложим уравнения:

|Дуга АД-дуга ВС=72°

|дуга АД+дуга ВС=136°

2 дуги АД=208°

Дуга АД =104°

∠ АВД, опирающийся на эту дугу, равен половине ее градусной величины:

∠АВД=104°:2=52°

В треугольнике АВN 

∠ ВNA, как смежный с углом, равным 68 градусов, равен 112°. 

Сумма углов треугольника 180°

Отсюда

∠ ВАС=180°-112°-52°=16

Пошаговое объяснение: