При каком значении х величина (х-а)^2 + (х-b)^2 + (x-c)^2 Принимает наименьшее значение переменной?

Ответ

Автор - artembakhanov

Ответ:

$x = frac{1}{3}(a + b + c)$

Объяснение:

Раскроем скобки: $y = (x-a)^2 + (x-b)^2 + (x-c)^2 = (x^2 - 2ax + a^2) + (x^2 - 2bx + b^2) + (x^2 - 2cx + c^2) = 3x^2 - 2x(a+b+c) + (a^2 + b^2 + c^2)$

Это функция одной переменной, найдем ее производную и проверим на экстремумы:

$y' = 6x - 2(a+b+c) = 0\x_0 = frac{1}{3} (a + b + c)$

Проверим, что производная при переходе через критическую точку меняет свой знак:

$y'_{-} (frac{1}{3} (a+b+c)) < 0\y'_{+} (frac{1}{3} (a+b+c)) > 0$

Слева производная отрицательна, а справа положительна - локальный минимум. У нас всего один такой экстремум, значит $frac{1}{3}(a + b + c)$ - точка глобального минимума.