В піраміді ABCD на медіанах DP, DQ, DR граней ABD, BCD, CAD відповідно задано точки M, N, K, для яких DM : MP = 2:1, DN : NQ = 3:1, DK:KR =1:1, S - точка перетину прямої AD площиною MNK . Знайти відношення
DS: SA.​

Відповідь:

DS:SA=6:7.

Пояснення:

Виконаємо рисунок, для побудови перетину використаємо метод

внутрішнього проектування: (AQ)∩(PR)=O, (DO)∩(MK)=L, (NL)∩(AD)=S, де S – шукана  точка перетину прямої (AD) площиною (MNK).

Зауважимо, що чотирикутник ARQP – паралелограм, а тому точка О є серединою обох  його діагоналей. Розглянемо трикутник DPR: точки О і K є серединами своїх сторін, а тому  PD||KO і PD=2·KO; з умови маємо, що MD=⅔·PD, а тому MD:KO=4:3. З подібності  трикутників MDL i KOL маємо DL:OL=MD:KO, а тому DL:OL=4:3.

Розглянемо трикутник QAD, введемо афінну систему координат.  Нехай точка  Q(0;0) – початок координат, напрям вісі абсцис – від точки Q до точки А, нехай A(2;0),  напрям вісі ординат – від Q до D, нехай D(0;4).

Тоді, з урахуванням умови,  координати О(1;0), N(0;1).

Обчислимо координати точки  L(x; y):

вектори DO(1;-4); DL(х; y- 4), причому  DL=4/7 DO, а тому  L (4/7;12/7). Вектор  NL(4/7;5/7)||(4;5), а тому рівняння прямої  NL x=4t; y=1+5t, tєR

Рівняння прямої (АD) за  двома точками : (х-0)/(2-0)=(у-4)/(0-4) або  

2x + y- 4= 0.

Знайдемо координати точки  S =(NL)∩(AD), розв’язавши систему рівнянь:

2x + y- 4= 0;

x=4t;                       ⇒2*4t+1+5t-4=0 ⇒8t+5t=3 ⇒ 13t=3 ⇒ t=3/13;

y=1+5t.

x=4*3/13=12/13;

y=1+5*3/13=1+15/13=28/13.

Тобто S(12/13;28/13).

А тоді вектори  DS(12/13;-24/13)=12/13*(1;-2); SA(14/13;-28/13)=14/13*(1;-2).

і шукане відношення DS:SA=6:7.

Відповідь: DS:SA=6:7.