Найдите наименьшее значение выражения 2sin^5(x)+3cos^5(x),если x удовлетворяет равенству (sin(x)-1)^2-cos^3(x)=0

Ответ:

2

Пошаговое объяснение:

Попробуем сначала решить уравнение

(sin x - 1)^2 - cos^3(x) = 0

sin^2(x) - 2sin x + 1 - cos^3(x) = 0

Поменяем все знаки и вставим sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

cos^3(x) - (1 - cos^2(x)) + 2sin x - 1 = 0

cos^3(x) + cos^2(x) + 2sin x - 2 = 0

cos^3(x) + cos^2(x) = 2 - 2sin x = 2(1 - sin x)

Такое равенство возможно только в двух случаях:

А)

{ sin x = 0

{ cos x = cos^2(x) = cos^3(x) = 1

В этом случае получаем верное равенство:

1 + 1 = 2(1 - 0)

Решение этой системы

x = 2Π*k, k € Z

Тогда наше выражение равно

2sin^5(x) + 3cos^5(x) = 2*0 + 3*1 = 3

Б)

{ cos x = cos^2(x) = cos^3(x) = 0

{ sin x = 1

В этом случае также получаем верное равенство:

0 + 0 = 2(1 - 1)

Решение этой системы

x = Π/2 + 2Π*k, k € Z

Значение нашего выражения

2sin^5(x) + 3cos^5(x) = 2*1 + 3*0 = 2

Решение Б) меньше.