$F(x)=left { {{0}, x<0 atop Ae^{-x}, xgeq0 }} right.$
a = -1, b=2.

Необходимо найти:

1. Значение постоянной А, при котором f(x) будет плотностью распределения некоторой случайной величины Х

2. Интегральную функцию распределения F(x) этой случайной величины Х.

3. Мат. ожидание, дисперсию, среднее квадрат. отклонение.

4. Вероятность попадания СВ Ч в интервал (а,b).

Построить графики функций F(x) и f(x)

Ответ

Автор - saddatimov

Решение на фотографиях. Приятно удивлен увидеть здесь университетскую жизнь (теорвер). Если что, как берется неопределенный интеграл от xe^-x или x^2 * e^-x опущено, т.к. это легко делается с помощью интегрирования по частям (в первом случае применяем единожды, во втором два раза). Графики можно начертить здесь www.desmos.com/calculator

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Воспользовавшись одним из свойств плотности распределения

$displaystyle intlimits^{+infty}_{-infty} f(x)dx=1\ \ \ intlimits^{+infty}_{-infty}Ae^{-x}dx=intlimits^{+infty}_{0}Ae^{-x}dx=-Ae^{-x}bigg|^{+infty}_{0}=-A(0-1)=1~~Rightarrow~~~boxed{A=1}$

Заметим, что это показательное распределение с параметром $lambda =1$

$F(x)=displaystyle intlimits^{x}_{0}f(t)dt=intlimits^{x}_{0}e^{-t}dt=-e^{-t}bigg|^x_0=1-e^{-x},~~~ xgeq 0$

3) Математическое ожидание случ. величины X: $MX=dfrac{1}{lambda}=dfrac{1}{1}=1$

Дисперсия случ. величины X: $DX=dfrac{1}{lambda^2}=1$

Среднее квадратическое отклонение: $sigma =dfrac{1}{lambda}=1$

4) Вероятность того, что СВ Х попадет в интервал (-1;2), равна

$P(-1<X<2)=F(2)-F(-1)=1-e^{-2}-0=1-e^{-2}approx0{,}86$