Найдите радиус среднего круга.

Радиусы окружностей перпендикулярны касательной в точке касания, следовательно, радиусы всех данных окружностей параллельны. Тогда в выделенных на рисунке равнобедренных треугольниках, образованных радиусами окружностей, углы при вершинах равны, как сответственные при параллельных прямых и общей секущей.

Если угол между боковыми сторонами одного равнобедренного треугольника равен углу между боковыми сторонами другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники подобны (первый признак подобия равнобедренных треугольников).

Тогда:

18/X = X/Y = Y/Z = Z/8.  =>

18/X = Z/8.  => Z = 18*8/X.

Y/Z  = Y/ (18*8/X) = Y*X/18*8  =>

18/X = Y/Z = Y*X/18*8  =>  18²*8 = X²Y.  (1)

18/X = X/Y  =>  X² = 18*Y.  (2). Подставим (2) в (1):

18²*8 = 18*Y*Y.  =>  Y = √(18*8)  = 12.

Ответ: радиус среднего круга равен 12 ед.