Найди корни данного уравнения:

1−tgx/1+tgx=√ 3

находящиеся в промежутке значений: x∈[−π;2π]

1. Сколько всего таких корней :

2. Наименьший корень: x=
π

3. Наибольший корень: x=
π

Ответ

Проверено экспертом

Автор - nafanya2014

tgx не существует при cosx=0

ОДЗ:

{cosx≠0

{1+tgx≠0⇒ tgx≠-1

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:

1-tgx=√3+√3tgx;

1-√3=(1+√3)tgx

$tgx=frac{1-sqrt{3} }{1+sqrt{3} } \ \ x=arctg(frac{1-sqrt{3}) }{(1+sqrt{3}) } +pi k, kin Z$

Корни, принадлежащие промежутку [-π;2π]:

$arctg(frac{1-sqrt{3}) }{(1+sqrt{3}) }$

$arctg(frac{1-sqrt{3}) }{(1+sqrt{3}) } +pi$

$arctg(frac{1-sqrt{3}) }{(1+sqrt{3}) } +2pi$

Всего три.

Наименьший корень:

$arctg(frac{1-sqrt{3}) }{(1+sqrt{3}) }$

Наибольший корень:

$arctg(frac{1-sqrt{3}) }{(1+sqrt{3}) } +2pi$

О т в е т верный. Но авторы задачи предполагали другое решение.

Так как

$1=tgfrac{pi }{4}$

то

$frac{tgfrac{pi }{4}-tgx }{tgfrac{pi }{4}+x }=sqrt{3}$

По формуле тангенса разности двух углов

$tg(frac{pi }{4} -x)=sqrt{3}\ \tg(x-frac{pi }{4})=- sqrt{3}\ \ x-frac{pi }{4}=arctg(-sqrt{3})+pi n, nin Z\ \x=frac{pi }{4}-frac{pi }{3}+pi n, nin Z\ \ x= - frac{pi }{12}+pi n, nin Z$

Корни, принадлежащие промежутку [-π;2π]:

$x_{1}=-frac{pi }{12}$

$x_{2}=-frac{pi }{12}+pi=frac{11pi }{12}$

$x_{3}=-frac{pi }{12}+2pi=frac{23pi }{12}$

Всего три.

Наименьший корень:

$x_{1}=-frac{pi }{12}$

Наибольший корень:

$x_{3}=-frac{pi }{12}+2pi=frac{23pi }{12}$

Можно доказать, что ответы одинаковые, но это непростая задача.

$tg(-frac{pi }{12}) =frac{1-sqrt{3} }{1+sqrt{3} }$