Помогите пожалуйста с заданием

Ответ

Автор - zinaidazina

$frac{1}{x(x+1)}+frac{1}{(x+1)(x+2)}+frac{1}{(x+2)(x+3)}+frac{1}{(x+3)(x+4)}=frac{1}{(x)(x+4)}$

1) Каждое слагаемое представим в виде разности двух дробей:

$1)frac{1}{x(x+1)}=frac{1}{x}-frac{1}{x+1}$

$2)frac{1}{(x+1)(x+2)}=frac{1}{x+1}-frac{1}{x+2}$

$3)frac{1}{(x+2)(x+3)}=frac{1}{x+2}-frac{1}{x+3}$

$4)frac{1}{(x+3)(x+4)}=frac{1}{x+3}-frac{1}{x+4}$

2) А теперь данное равенство примет вид:

$frac{1}{x}-frac{1}{x+1}+frac{1}{x+1}-frac{1}{x+2}+frac{1}{x+2}-frac{1}{x+3}+frac{1}{x+3}-frac{1}{x+4}=frac{4}{x(x+4)}$

$frac{1}{x}-(frac{1}{x+1}-frac{1}{x+1})-(frac{1}{x+2}-frac{1}{x+2})-(frac{1}{x+3}-frac{1}{x+3})-frac{1}{x+4}=frac{4}{x(x+4)}$

$frac{1}{x}-0-0-0-frac{1}{x+4}=frac{4}{x(x+4)}$

$frac{1}{x}-frac{1}{x+4}=frac{4}{x(x+4)}$

$frac{x+4-x}{x(x+4)}=frac{4}{x(x+4)}$

$frac{4}{x(x+4)}=frac{4}{x(x+4)}$

Доказано.

Если х≠0; х≠ -1; х≠ -2; х≠ -3; х≠ -4, тогда данное равенство является тождеством.

Иначе, при всех значениях х, кроме 0; -1; -2; -3; 4 данное равенство является тождеством.