Помогите пожалуйста найти определенные интегралы.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

$1); ; int frac{x^2, dx}{5-x^6}=int frac{x^2, dx}{5-(x^3)^2}=[; t=x^3; ,; dt=3x^2, dx; ]=frac{1}{3}int frac{dt}{5-t^2}=\\=frac{1}{3}cdot frac{1}{2sqrt5}cdot lnBig |frac{sqrt5+t}{sqrt5-t}Big |+C=frac{1}{6sqrt5}cdot lnBig |frac{sqrt5+x^3}{sqrt5-x^3}Big |+C\\2); ; int frac{dx}{sqrt{x(3x+5)}}=int frac{dx}{sqrt{3x^2+5x}}=int frac{dx}{sqrt{3}cdot sqrt{x^2+frac{5}{3}x}}=frac{1}{sqrt3}int frac{dx}{sqrt{(x+frac{5}{6})^2-frac{25}{36}}}=$

$Big [; t=x+frac{5}{6}; ,; dt=dx; Big ]=frac{1}{sqrt3}int frac{dt}{t^2-frac{25}{36}}=frac{1}{sqrt3}cdot frac{1}{2cdot frac{5}{6}}cdot lnBig |frac{t-frac{5}{6}}{t+frac{5}{6}}Big |+C=\\=frac{sqrt3}{5}cdot lnBig |frac{3x}{3x+5}Big |+C\\3); ; int xcdot arctgsqrt{x^2-1}, dx=[; t^2=x^2-1; ,; 2t, dt=2x, dx; ,; x, dx=t, dt]=\\=int arctgtcdot t, dt=[u=arctgt; ,; du=frac{dt}{1+t^2}; ,; dv=t, dt; ,; v=frac{t^2}{2}; ]=$

$=uv-int v, du=frac{t^2}{2}cdot arctgt-frac{1}{2}int frac{t^2, dt}{1+t^2}=frac{t^2}{2}cdot arctgt-frac{1}{2}int (1-frac{1}{1+t^2})dt=\\=frac{t^2}{2}cdot arctgt-frac{1}{2}cdot (t-arctgt)+C=\\=frac{x^2-1}{2}cdot arctgsqrt{x^2-1}-frac{1}{2} cdot (, sqrt{x^2-1}-arctgsqrt{x^2-1}, )+C$

$4); ; intlimits^1_0frac{sqrt[4]{x}-sqrt[8]{x^3}}{sqrt{x}}, dx=[; t=x^8; ,; x=sqrt[8]{t}; ,; dx=frac{t^{-7/8}}{8}, dt; ,; t_1=0; ,; t_2=1; ]=\\=intlimits^1_0frac{t^2-t^3}{t^4}cdot frac{dt}{8t^{7/8}}=frac{1}{8} intlimits^1_0, frac{1-t}{t^2; cdot ; t^{7/8}}, dt=frac{1}{8}intlimits^1_0frac{1-t}{t^{23/8}}, dx=frac{1}{8}intlimits^1_0, (t^{-23/8}-t^{-15/8}), dt=\\=frac{1}{8}cdot Big (frac{t^{-15/8}}{-15/8}-frac{t^{-7/8}}{-7/8}Big )Big |_0^1=frac{1}{8}cdot (-frac{8}{15}+frac{8}{7})=frac{8}{105}$

$5); ; intlimits^{frac{pi}{4}}_0, frac{tg^7x, dx}{cos^2x}=frac{tg^8x}{8}Big |_0^{frac{pi}{4}}=frac{1}{8}cdot (1-0)=frac{1}{8}$