Имеется куб, в вершинах этого куба расставлены числа 1,2,3,4,5,6,7,8. Докажите, что
есть ребро, числа, на концах которого отличаются не менее чем на 3.

Допустим, что такого ребра не существует. Рассмотрим наименьшее из этих чисел - единицу. Пусть она расположена в какой-то из вершин куба. Из этой вершины исходит три ребра, соединяющие эту вершину с другими тремя вершинами, то есть получаем три пары чисел (одно из которых единица), стоящих на концах этих трех ребер и по нашему предположению разность между двумя числами в каждой из этих пар должна быть < 3. Но, таких пар чисел всего две. Это пары (1, 2) и (1, 3). Следовательно, приходим к противоречию, а  это значит, что найдется хотя бы одно ребро с парой чисел на своих концах, разность между которыми будет ≥ 3.