Собака привязана к поводку длины 2, другой конец которого может свободно скользить по катетам АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС. Известно, что АС=10 и угол ВАС=60градусов. Какова длина части отрезка АС, до которой собака не может добраться?
а) 2 б) 4 в) 6 г) 10 - 4 корня из 2 д) 6- 4корня из 33

Ответ

Автор - axatar

Ответ:

д) $6-frac{4sqrt{3} }{3}$

Пошаговое объяснение:

Известно, что гипотенуза АС прямоугольного треугольника АВС равна 10 и ∠ВАС=60°.

Определим длины катетов АВ и ВС:

$cos60^{0} = frac{AB}{AC}$

AB=AC·cosn60°=10·1/2=5,

$sin60^{0} = frac{BC}{AC}$

BC=AC·sins60°=10·√3/2=5√3.

Собака с поводком длиной 2 двигаясь по катетам АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС может достичь (см. рисунок) все точки от А по N и от L по C.

Поэтому, чтобы определить длина части отрезка АС, то есть длину отрезка NL, до которой собака не может добраться определим длину отрезка АN и LC.

Так как ∠MAN=∠BAC, ∠AMN=∠ABC=90°, ∠ANM=∠ACB, то

треугольники ΔAMN и ΔABC подобны. Тогда из-за подобия треугольников ΔAMN и ΔABC:

$frac{AN}{AC}=frac{MN}{BC}$ или AN=AC·MN/BC=10·2/(5√3)=4/√3=4√3/3.

Также ∠LCK=∠ACB, ∠LKC=∠ABC=90°, ∠CLK=∠CAB, то

треугольники ΔLKC и ΔABC подобны. Тогда из-за подобия треугольников ΔLKC и ΔABC:

$frac{LC}{AC}=frac{LK}{AB}$ или LC=AC·LK/AB=10·2/5=4.

Тогда длина части отрезка АС, до которой собака не может добраться

NL=AC-АN-LC=10-4√3/3-4=6-4√3/3.