5. На доске написано число 1. За одну операцию к написанному числу можно либо прибавить 111, либо поменять местами две его соседние ненулевые цифры. Можно ли за несколько таких операций получить число 2009?

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

Число 1 даёт остаток 1 при делении на 9(то есть 1≡1(mod 9)).

111≡3(mod 9)

Значит, по свойствам сравнения чисел по модулю, при каждом прибавлении к числу числа 111 остаток от деления результата сложения на 9 по сравнению с исходным числом увеличится на 3.

Операция обмена цифр местами не меняет сумму цифр числа. Поэтому, так как сумма цифр числа S≡r(mod 9), где r - остаток от деления числа на 9, остаток при делении на 9 полученного числа и исходного не отличаются.

2009≡2(mod 9).

Тогда составим уравнение:

1+n*3≡2(mod 9)[n - количество операций сложения]

n*3≡1(mod 9)

Тогда получаем 3n=1+9k(k∈Z)

Число слева делится на 3, а число справа даёт остаток 1 при делении на 3(1≡1(mod 3) и 9k=3*3k≡0(mod 3)). Противоречие. Значит получить 2009 подобным способом нельзя