Из полукруга радиусом 10 см вырезают равнобочную трапецию. Определить угол
трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

Ответ

Автор - LilitKit

Площадь трапеции находим как сумму площади прямоугольника со стронами 2у и х и двух прямоугольных треугольников с катетами х и (R-y)

S=2xy+x(R-y) = 2xy+10x-xy=10x+xy
Из треуг ОВх: у=√(100-х²)
S=10x+x√(100-x²)

Находим производную:

$S'=10+ sqrt{100- x^{2}}- frac{ x^{2} }{ sqrt{100- x^{2}}}= frac{10 sqrt{100- x^{2}}+100-2 x^{2} }{ sqrt{100- x^{2}}}=0$

100-x²>0 => x<10

$10 sqrt{100- x^{2}}=2 x^{2} -100$

$100(100- x^{2} )=10000-400 x^{2} +4 x^{4}$

$4 x^{4}-300 x^{2} =0$

$x^{2} ( x^{2} -75)=0$

$x^{2} =0 => x=0$

$x^{2} =75 => x=+-5 sqrt{3}$

Отрицательное и значение равное 0 не имеют смысла.
Значит условию максимальности площади удовлетворяет х=5√3

Из треуг ОВх cosO=5√3/10 = √3/2, что соответствует углу 30 градусов.
Значит угол ВОА=90-30=60 градусов.
Треугольник ВОА - равнобедренный, так как (ВО=ОА=радиусу) с углом при вершине 60 градусов, значит угол в основании равен: (180-60)/2=60 градусов.

Искомый угол - 60 градусов.

Из полукруга радиусом 10 см вырезают равнобочную трапецию. Определить угол трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

Ответ

Из полукруга радиусом 10 см вырезают равнобочную трапецию. Определить угол
трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.